Теннисист начал свою профессиональную карьеру в 2011 году, когда ему было 18 лет. В 2015 году в Казани он выиграл свой первый "челленджер".
Несколько месяцев спустя он впервые победил в основной сетке турнира серии АТР в одиночном разряде.
В 2016 году Аслан дошел до третьего круга квалификации Открытого чемпионата Франции, тогда он проиграл испанцу Жорди Самперу Монтанье.
В 2019 году Карацев перебрался в Минск (Белоруссия), где начал тренироваться под руководством Егора Яцюка.
2021 год стал для Аслана самым ярким в его карьере. Карацев первый раз пробился в основную сетку турнира Большого шлема "Australian Open 2021". 27-летний осетинский теннисист стал первым спортсменом, который, начиная с 1996 года, смог дойти до полуфинала своего дебютного турнира Большого шлема. Тогда Карацев победил болгарина Григора Димитрова, канадца Феликса Оже-Альяссима и аргентинца Диего Шварцмана. В шаге от финала он встретился с первой ракеткой мира Новаком Джоковичом, и уступил ему в напряженной борьбе.
Карацев получил специальное приглашение на турнирв Дубай (ОАЭ) где дошел до финала, и обыграл южноафриканца Ллойда Харриса, попавшего в основную сетку турнира через квалификацию, со счетом 6:3, 6:2. Встреча продолжалась 1 час 15 минут.
27-летний спортсмен занял 27-ю строчку в рейтинге Ассоциации теннисистов-профессионалов (АТР), хотя в марте 2020 года был на 263-м месте.