На протяжении своей дипломатической карьеры Эльбрус Каникоевич последовательно отстаивал интересы страны. Вершиной профессиональной деятельности Эльбруса Каргиева стала работа в должности посла России в Южной Осетии, на которую он был назначен вслед за признанием республики Российской Федерацией.
Каргиев родился 22 августа 1944 года в городе Дзауджикау Северо-Осетинской АССР (ныне — Владикавказ).
С 1994 года работал в министерстве иностранных дел РФ. С сентября 2007 года по октябрь 2008 года — главный советник четвертого департамента стран СНГ МИД РФ, который курирует Абхазию, Азербайджан, Армению, Грузию и Южную Осетию.
С 25 октября 2008 года по 23 мая 2017 года — чрезвычайный и полномочный посол РФ в Республике Южная Осетия.
Чрезвычайный и полномочный посланник 1-го класса (2011). Был награжден орденами Дружбы (2011), Почета (2017), Орденом Дружбы Республики Южная Осетия (2014).